精确光源 Punctual Light Source

2016-8-21

根据 BRDF 的定义：

\[\begin{align} f(l,v) &= { dL_{o} \over dE_{i} } \\ f(l,v) &= { dL_{o} \over L_{i} cos\theta_{i} d\omega_{i} } \\ dL_{o} &= f(l,v) L_{i} cos\theta_{i} d\omega_{i} \\ L_{o} &= \int_{\Omega} f(l,v) L_{i} cos\theta_{i} d\omega_{i} \tag{eq1} \end{align}\]

$$$ L_{o} $$$ 就是出射辐射率(radiance)，也就是最终视觉感知到的量（渲染表现到像素颜色上的最终结果）。基本的 BRDF 都是基于精确光源（Punctual Light Sources）这个假设前提下的，所谓的精确光源是一个大小为无穷小且方向确定的光源。我们经常使用的方向光源（Directional Light）、点光源（Point Light）、聚光灯光源（Spotlight）是精确光源。有一点是需要注意的，当传播介质为真空时，辐射率（radiance）$$$ L_{o} $$$ 是不会随着距离衰减的，在现实中表现为一个红色的物体不管距离你有多远，你看到的这个物体都是红色（忽略大气散射等因素）。而真正衰减的应该是辐照度（Irradiance），单位面积上的光通量：

\[ E = { \Phi \over A } \]

设想一个点光源，随着光子一层层的向外扩散，$$$ A $$$ 也就越来越大，这就导致了辐照度（Irradiance）逐渐减小。如果把点光源想象成太阳，离太阳越远辐照度（Irradiance）越小就意味着，距离太阳越远能感受到的热能越小。但是因为辐射率（radiance）不会随着距离减小，所以并不会因为距离太阳的远近，而看到两种不同颜色的太阳（绝对真空的环境下）。

使用精确光源这个概念是为了将出射辐射率（radiance）的计算进行简化。从上面给出的计算 $$$ L_{o} $$$ 的方程可以看到，有一个积分的计算，有了精确光源这个假设，就可以消除原本的积分计算部分。

我们使用 $$$ c_{light} $$$ 表示光源的颜色，$$$ l_{c} $$$ 表示光源的方向。$$$ c_{light} $$$ 被定义为白色的 Lambertian 表面被平行于表面法线（$$$ l_{c}=n $$$）的光照亮时的颜色。上文说了，精确光源的大小是无穷小的，无穷小也是有大小的，使用 $$$ \varepsilon $$$ 表示，意思是以 $$$ l_{c} $$$ 为中心，精确光源为大小所形成的一个张角。根据 $$$ c_{light} $$$ 的定义得到：

\[ c_{light} = { c_{diff} \over \pi } \int_{\Omega} L_{i} cos\theta_{i} d\omega_{i} \]

积分外的 $$$ { c_{diff} \over \pi } $$$ 是 Lambert 常量，由于是白色，所以 $$$ c_{diff} $$$ 是 1。积分内的是反射方程，又由于 $$$ l_{c}=n $$$，所以 $$$ cos\theta_{i} = 1 $$$，所以：

\[\begin{align} c_{light} &= { 1 \over \pi } \int_{\Omega} L_{i} d\omega_{i} \\ \pi c_{light} &= \int_{\Omega} L_{i} d\omega_{i} \tag{eq2} \end{align}\]

将 $$$ ep2 $$$ 代入 $$$ eq1 $$$：

\[\begin{align} L_{o} &= \int_{\Omega} f(l,v) L_{i} cos\theta_{i} d\omega_{i} \\ L_{o} &= f(l,v) cos\theta_{i} \int_{\Omega} L_{i} d\omega_{i} \\ L_{o} &= f(l,v) cos\theta_{i} \pi c_{light} \end{align}\]

更详细的介绍，可以查看 Background: Physics and Math of Shading 的 Punctual Light Source 章节。如果同时受到多个精确光源照射，只需要对每个光源重复执行上式，并将结果求和即可。