矩阵基础3

2016-10-22

使用三个基轴构建矩阵的技巧在 矩阵基础 2 和 相机空间矩阵 中已经介绍过了，这里补充一点。

构造一个从 A 空间转换到 B 空间的矩阵实际是将 A 空间三个基轴转换到 B 空间中，由此得到的新的三个向量来构造矩阵。

比如 A 空间的三个基轴是 $$$ i, j, k $$$，将其转换到 B 空间后得到三个新的向量 $$$ l, m, n $$$，使用 $$$ l, m, n $$$ 构造出的矩阵为(忽略平移)：

\[ \begin{bmatrix} l_{x} & m_{x} & n_{x} & 0 \\ l_{y} & m_{y} & n_{y} & 0 \\ l_{z} & m_{z} & n_{z} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

这种方法思考上更自然直接，还有另一种方法。如果 B 空间的三个基轴是 $$$ i, j, k $$$，转换到 A 空间后得到三个新的向量 $$$ l, m, n $$$，使用这三个新的向量也可构造矩阵：

\[ \begin{bmatrix} l_{x} & l_{x} & l_{x} & 0 \\ m_{y} & m_{y} & m_{y} & 0 \\ n_{z} & n_{z} & n_{z} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

可以看到并没有使用列主序的方式，因为如果那么做了，构造出来的矩阵就表示 B 空间转换到 A 空间（$$$ B \rightarrow A $$$），这不是想要的，我们要的是 $$$ A \rightarrow B $$$。所以对列主序构造出的矩阵进行转置。这个转置意味着什么，对于 $$$ A \rightarrow B $$$ 和 $$$ B \rightarrow A $$$ 这两个矩阵，它们互为逆矩阵，并且 A、B 两个空间的基轴都是正交轴，我们知道在这种情况下，矩阵的逆等于其转置，这就是转置的意义了。将 $$$ B \rightarrow A $$$ 矩阵进行转置得到 $$$ A \rightarrow B $$$ 矩阵（这个矩阵正是我们要求的）。

第二种方法虽然没有第一种方法来的直接，但还是会经常用到的哦，接触最多的就是在用法线贴图时切线空间的转换了：

float3 binormal = cross( normalize(v.normal), normalize(v.tangent.xyz) ) * v.tangent.w;
float3x3 rotation = float3x3( v.tangent.xyz, binormal, v.normal ); // Object to tangent
float3x3 WtoT = mul(rotation, (float3x3)_World2Object); // The transpose is tangent to world.

弄清楚其中的细节，使用时思路就更清晰了。